考研數(shù)學(xué)三此題，B矩陣的秩為什么是n？

其他回答

• 毛同學(xué)
  如果一個矩陣和它的轉(zhuǎn)置相乘為單位矩陣，這個矩陣是什么矩陣？
  • 蔡老師
    正交矩陣。當(dāng)然，僅僅是指方陣而言。
    
    正交矩陣的特點：行列式的絕對值是1，行和列都是與矩陣階數(shù)相同維數(shù)的向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，作為線性變換不改變長度和內(nèi)積，等等。
• 苒同學(xué)
  為什么以范德蒙矩陣為系數(shù)矩陣的方程組為病態(tài)方程組
  • 邊老師
    雖然范德蒙矩陣a的行列式可以求出來，并且發(fā)現(xiàn)只要x_i互不相同，它的行列式就不是0，但是它的條件數(shù)實際上是非常大的。條件數(shù)的定義是
    cond(a) = ||a||||a^{-1}||
    其中范數(shù)||||為某種矩陣范數(shù)。即使一個矩陣可逆，但如果條件數(shù)很大對應(yīng)的方程組就是病態(tài)的。所謂”病態(tài)“可以理解為方程組對右端項誤差的敏感程度，比如 ax = b，如果b變化一點，對應(yīng)的x變化非常大，就說這個方程組是病態(tài)的。著名的hilbert矩陣也是條件數(shù)很大的矩陣。
    
    從另一個方面看，假設(shè)我們知道一個n-1次多項式 f(x) = \sum a_i x^i
    
    在x_i (i=1...n)點的函數(shù)值f_i，那么求解這個多項式的系數(shù)a_i對應(yīng)的矩陣就是范得蒙矩陣。數(shù)值分析中發(fā)現(xiàn)這個問題n大于8時就非常不穩(wěn)定了，可以從另一個方面解釋這個問題。
• 晏同學(xué)
  若a是n階矩陣則|a|=|a|的(n-1)次方
  • 周老師
    1，a乘a=｜a｜乘e，e是n階單位陣
    2，兩邊取模，得到：｜a｜｜a｜=｜｜a｜e｜
    而｜｜a｜e｜=｜a｜的n次方（e是n階陣，｜a｜是一個數(shù)，用到數(shù)和矩陣乘積的模的計算公式）
    3，兩邊約掉一個｜a｜，就得到你想要的結(jié)果了。
    （你原來不理解可能是因為第三步的運(yùn)算吧，知道了應(yīng)該就容易理解了）
• 彬同學(xué)
  e的矩陣次方：就是ea，a是e的指數(shù)且a是矩陣怎么算
  • r老師
    矩陣函數(shù)來有許多定義方式（當(dāng)源然互相都是等價的）：比如若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定義、差值多項式定義、柯西積分公式定義、冪級數(shù)定義。
    e^a=i+a+a^2/2+a^3/3+... (冪級數(shù)定義)
    積分應(yīng)該是指e^at積分吧，積分變量是t，就是矩陣的每個元素積分。
    e^a的計算可以用matlab里的expm(a)的函數(shù)來實現(xiàn)，這個函數(shù)采用n. higham的scaling and squaring - pade 算法，效果很好。